Tugas Pertama Teori Bilangan

                                             INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

MAGISTER PENGAJARAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

 

NAMA	:	HARTADI GATOT
NIM	:	90110314
MATA KULIAH	:	TEORI BILANGAN

PENYELESAIAN:

6.    Apa yang dapat disimpulkan jika a, b bilangan bulat bukan nol sedemikian hingga a|b dan b|a ?

       Jawab :

                 a|b   artinya   b = ak   untuk suatu  k Î   dan   b|a  artinya  a = bl  untuk suatu  l Î  

                 Sehingga diperoleh  kl = 1  artinya  k,l Î {±1}.

        Dengan demikian diperoleh  a = ± b  dan  b = ± a  atau  |a|=|b|.

Jadi dapat disimpulkan :

                    jika a dan b bilangan bulat selain 0 sedemikian sehingga a|b dan b|a maka |a|=|b|.

8.    Adakah bilangan bulat  a, b  dan c  sedemikian sehingga  a|bc, tetapi  a  b dan  a  c  ?

       Jawab :

       Ada,

           Misalnya :  15 | 5.3; tetapi 15 tidak membagi 5 atau 3.

10. Tunjukkan bahwa jika  a  dan  b  adalah  bilangan bulat positif dan  a|b,  maka  a ≤ b.

       Bukti Kontradiksi :

         Misalkan  :

                 Ambil sembarang  a, b Î  ⁺ dan a|b. 

                 Andaikan a  >  b    maka    1  >    .  

                        Karena   a|b   maka  1  >     akan terpenuhi jika  b  bilangan bulat negatif.

                        Hal ini bertentangan dengan  b Î  ⁺.  ( kontradiksi )

                        Jadi   : 

                                    jika  a  dan  b  adalah  bilangan bulat positif dan  a|b,  maka  a ≤ b.

12. Tunjukkan  bahwa jumlah dua bilangan bulat genap atau jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat genap, sedangkan jumlah dari sebuah bilangan bulat ganjil dan bilangan bulat genap adalah bilangan bulat ganjil.

       Dari pernyataan di atas , akan dibuktikan :

                         i.          Jumlah dua bilangan bulat genap adalah bilangan bulat genap

                        ii.         Jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat genap

                       iii.        Jumlah sebuah bilangan bulat genap dan sebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil .

Bukti :

                        i.          Jumlah dua bilangan bulat genap adalah bilangan bulat genap.

Ambil dua bilangan bulat genap sembarang a dan b ,

Misalkan :

          a  =  2k   dan   b  =  2l   untuk  suatu   k , l Î .

Maka  :

                     a  +  b              =          2k  +  2l

                     =   2 ( k + l ).

Karena   :

                     k , l  Î      maka   untuk suatu m = ( k + l ) Π   

Sehingga :

                      a  +  b             =          2m   untuk suatu  m Π   

Berarti :

                     a  +  b  bilangan bulat genap.

Jadi :

                     Jumlah dua bilangan bulat genap adalah bilangan bulat genap. ( terbukti )  

                       ii.         Jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat genap.

Ambil dua bilangan bulat ganjil  sembarang  a dan b ,

Misalkan :

       a  =  2k + 1   dan   b  =  2l + 1  untuk  suatu   k , l Î .

Maka  :

       a  +  b    =  ( 2k + 1 )  +  ( 2l + 1 )

                     =   2k  +  2l  + 2

                     =   2 ( k + l + 1 ).

Karena   :

       k , l  Π     maka  suatu  m = ( k + l + 1 ) Π   

Sehingga :

       a  +  b    =   2m   untuk suatu  m Π   

Berarti :

       a  +  b  bilangan bulat genap.

Jadi :

       Jumlah dua bilangan bulat ganjil  adalah bilangan bulat genap. ( terbukti )  

                      iii.        Jumlah sebuah bilangan bulat genap dan sebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil .

Ambil dua bilangan bulat ganjil  sembarang  a dan b ,

Misalkan :

       a  =  2k + 1   dan   b  =  2l   untuk  suatu   k , l Î .

Maka  :

       a  +  b    =  ( 2k + 1 )  +  2l

                     =   2k  +  2l  + 1

                     =   2 ( k + l ) + 1.

Karena   :

       k , l  Π     maka   m = ( k + l ) Π   

Sehingga :

       a  +  b    =   2m + 1  untuk suatu  m Π   

Berarti :

       a  +  b  bilangan bulat ganjil.

Jadi :

Jumlah sebuah bilangan bulat genap dan sebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil. ( terbukti )

14. Tunjukkan bahwa jika a dan b adalah bilangan bulat ganjil positif dan b  a, maka terdapat suatu bilangan bulat s dan t sedemikian sehingga a = bs + t, dimana  t adalah ganjil dan   | t | < b.

Bukti :

Karena b  a, maka terdapat bilangan bulat q dan r dengan 0 < r < b . (algoritma pembagian)

Sehingga :

a     =     bq + r                                                  ………………         (i)

       =     b(q + 1) + (r – b).                               ………………         (ii)             

Jika q adalah genap, maka bq juga genap,

akibatnya r = a – b.q  ganjil.

Karena 0 < r < b   maka | r | < b.

Dengan identifikasi pada (i) maka (ii) :

Misalkan  q + 1 adalah genap, maka b.(q + 1) juga genap.

Akibatnya r – b  = a – b.(q + 1)  juga ganjil.

Karena 0 < r < b, kita peroleh  –b < r – b < 0, sehingga | r – b | < b.

Jika ( q + 1 ) = s dan  ( r – b ) = t , kita dapat menuliskan  a = b.s + t,  dimana  t  adalah ganjil dan  | t | < b,  untuk suatu bilangan bulat  s  dan  t.

Jadi dapat disimpulkan :

Jika a dan b adalah bilangan bulat ganjil positif  dan  b  a,  maka terdapat suatu bilangan bulat  s  dan  t  sedemikian sehingga  a =  b.s  +  t ,  dengan  t  adalah ganjil  dan   | t | < b.