Sabtu, 08 Oktober 2011

Karena Allah SWT, Cintailah Istri Sepenuh Hati

DENGAN MENYEBUT NAMA ALLAH CINTAILAH ISTRIMU
Top of Form


Bottom of Form
Selasa, 09 Oktober 2011 





DALAM Islam, menikah sama dengan menyempurnakan separuh agama. Berbagai kenikmatan di surga sepertinya belum cukup bagi Adam ‘alaihis-salaam. Itulah sebabnya Allah Subhanahu wa Ta’ala menciptakan ibu kita, Hawa, untuk mendampinginya.

Jika ditelusuri, sesungguhnya karya-karya besar orang sukses lahir ketika seluruh energi di dalam dirinya bersinergi dengan sumber energi di luar dirinya, yakni dukungan dari orang-orang terdekat. Bagi seorang suami, istri adalah salah satu sumber energi itu.

Istri, di samping sebagai sandaran emosional, juga sebagai penyangga spiritual. Dialah yang siap berbagi tanpa pura-pura dan pamrih. Karunia istri, menurut Al-Qur`an, sama berharganya dengan kejadian dunia dan seisinya (Ar-Ruum: 16-30).
 Subhanallah!

Seorang suami bisa memperoleh ketenangan dan gairah hidup dari seorang istri. Juga kenyamanan, keberanian, keamanan, dan kekuatan. Laki-laki menumpahkan seluruh energinya di luar rumah dan mengumpulkannya kembali di dalam rumah. Rumah tidak sekadar tempat berteduh secara fisik, tetapi tempat berlabuh lahir dan batin. Sumber menu ruhani dan jasmani.

Potensi besar yang dikaruniakan Allah kepada perempuan adalah kelembutan, kesetiaan, cinta, kasih sayang, dan ketenangan jiwa. Kekuatan itu seringkali dilukiskan bagaikan ring dermaga tempat suami menambat kapal, atau pohon rindang tempat sang musafir merebahkan diri dan berteduh.

Di dalamnya merupakan padang jiwa yang luas dan nyaman. Tempat menumpahkan sisi kepolosan dan kekanakan suami untuk bermain dengan lugu; saat suami melepaskan kelemahan-kelemahan nya dengan aman; saat suami merasa bukan siapa-siapa; saat suami menjadi bocah besar yang berjenggot dan berkumis. Di keadalaman telaga itulah suami menyedot energi spiritual dan ketajaman emosional.

Umar bin Khattab Radhiyallahu ‘anhu pernah berkata, “
Jadilah engkau bocah di depan istrimu, tetapi berubahlah menjadi lelaki perkasa ketika keadaan memanggilmu.”
 
“Saya selamanya ingin menjadi bocah besar yang polos ketika berbaring dalam pangkuan ibuku dan istriku,” kata Sayyid Quthub.

Sebaik-baik wanita (istri), kata Nabi Muhammad Shallallahu ‘alaihi wa sallam, adalah apabila kamu melihatnya menyenangkanmu. Istri yang seperti inilah yang bisa menjadi sumber kebahagiaan, keamanan, dan penjaga kehormatan diri. Bila sumber itu hilang atau kering, tragedi cintalah yang akan terjadi.

Jangan Sampai Membelenggu

Hanya saja, kecintaan kepada istri harus rasional dan proporsional. Tak sekadar menonjolkan rasa, tetapi juga rasio. Cinta terhadap istri hendaknya diletakkan demi kepentingan agama.

Cintailah istrimu di bawah cinta kepada Allah! Jangan sampai kecintaan kepada keluarga menjadi ketergantungan yang membelenggu dan melumpuhkan. Saling mengasihi yang tidak dilandasi agama, suatu ketika bakal menjadi batu sandungan dakwah.

                             الْأَخِلَّاء يَوْمَئِذٍ بَعْضُهُمْ لِبَعْضٍ عَدُوٌّ إِلَّا الْمُتَّقِي
 
“Para kekasih pada hari itu (kiamat) sebagian mereka terhadap sebagian yang lain menjadi musuh kecuali orang-orang yang bertaqwa.” (Az-Zuhruf:  67)

Ketergantungan kepada selain Allah adalah indikasi kelemahan jiwa. Umar bin Khattab pernah menyuruh putranya, Abdullah bin Umar, satu dari tujuh ulama besar sahabat Rasulullah, untuk menceraikan istrinya. Pasalnya, ia terlalu berlebihan dalam mencintai istrinya itu.

Terkadang, ia terlambat shalat berjamaah karena asyik menyisir rambut istrinya. Sekalipun ia mempertahankan istrinya yang tercinta, tetapi Umar menganggapnya sebagai kelemahan jiwa.

Ketika seorang sahabat mengusulkan kepada Umar untuk mencalonkan putranya sebagai khalifah ketiga saat menjelang wafatnya, beliau menolak. “Aku tidak akan pernah menyerahkan amanah ini kepada seorang laki-laki yang lemah, yang tak berdaya menceraikan istrinya,” kata Umar.

Ibnu Abbas dan Mujahid mengatakan: "Pada hari kiamat setiap kekasih hati menjadi musuh kecuali orang-orang yang bertaqwa."

Sedang Al-Hafidz Ibnu Asakir meriwayatkan dari Abu Hurairah RA, Rasulullah SAW bersabda: "
Jika antara dua orang saling mencintai karena Allah, yang seorang di Timur dan yang seorang lagi di Barat, maka pada hari Kiamat Allah pasti akan mempersatukan keduanya sambil berfirman: "Inilah orang yg kau cintai karena-Ku..."

Agamalah yang bisa memberikan keterampilan kepada pemeluknya untuk mengelola fluktuasi (naik turun) kehidupan dengan semangat yang sama. Sedih dan gembira, suka dan duka, gagal dan sukses, adalah peta realitas kehidupan dunia.

Dinamika kehidupan dipersepsikan dan disikapi sebagai romantika, sehingga istri bisa menjadi teman abadi sepanjang hayat di dunia dan di akhirat. Tidak sebatas pandai dalam menjalin kasih secara biologis, tetapi terampil dalam memetakan masalah dan memutuskan risiko yang terjadi pascanikah.

Membangun Sandaran Spiritual

Syaikh Hasan an-Naisaburi, seorang ulama yang alim, pada usia 40 tahun belum juga menikah. Di tengah kesibukannya, datanglah seorang gadis shalihah yang cacat (bermata juling) dan miskin memberanikan diri untuk menghibahkan dirinya kepada beliau.

“Wahai Ustadz, sudikah engkau berkeluarga dengan orang yang fari ini?” kata gadis itu.

Sang ulama tergagap, seakan-akan telinganya disambar petir, diingatkan akan sunnah Rasul yang selama ini seolah-olah terhapus dalam memorinya. Segera, setelah itu ia bisa menguasai diri.

Beliau menjawab, “Apakah sudah engkau pertimbangkan secara matang hidup denganku yang sudah tua ini? Ingat masa depanmu masih panjang! Jangan engkau korbankan harapanmu denganku!”

Singkat cerita, lamaran gadis tersebut diterima. Sang gadis, terutama bapaknya, segera melakukan sujud syukur, “Alangkah senangnya kehidupanmu kelak, Nak. Bapak doakan semoga pernikahanmu ini yang pertama dan terakhir. Anakku, ditinjau dari berbagai segi, sesungguhnya kamu tidak sekufu dengan ustadz. Baik dari sisi usia, keilmuan, harta, dan keturunan. Tetapi alhamdulillah, permohonanmu diterima dengan tangan terbuka. Doa apakah yang selalu kamu panjatkan kepada Allah selama masa penantianmu yang panjang, Nak?”

Selama lima tahun mujahid yang harum namanya itu berdampingan dengan wanita yang cacat fisik, tetapi sukses mengarungi samudera kehidupan berkeluarga tanpa hambatan yang berarti. Ia berhasil merangkai keluarga sakinah, mawaddah, warahmah, wa muthmainah.

Sekalipun banyak ketidakcocokan di tengah jalan, tetapi dengan mudah dicarikan jalan keluar. Tentu, pasangan ini tidak terfokus perhatiannya pada hal yang bersifat lahiriah. Sang ulama menyadari, jika tidak menyukai satu sifat istri, palingkan penglihatanmu pada sisi yang lain.

Kalau kita baca tarajum (riwayat kehidupan) sang ulama, bisa dipahami bahwa kesamaan cinta kepada Allah-lah yang bisa mempertahankan dan merawat keharmonisan rumah tangga mereka sampai 15 tahun.

Suatu hari, sang istri yang cacat itu lebih dahulu kembali kepada Allah. Sang ulama menuliskan bait-bait puisinya yang melukiskan kepedihan hatinya, karena terlalu cepatnya berpisah dengan belahan jiwanya. “... Sungguh istriku, hati kita yang telah terbuhul... dengan cinta kepada Allah.”

Ia selalu terkenang dengan istrinya yang cacat fisik tetapi hatinya laksana intan mutiara. Lentera di dada.

Rasulullah berpesan, “
Janganlah laki-laki mukmin membenci istrinya yang mukminah. Bila ada perangai istri yang tidak disukai, dia pasti ridha (senang) dengan perangai istri yang lain.” (Riwayat Muslim).

Al-Biruni, Matematikawan Penemu Trigonometri Modern

Al-Biruni, Matematikawan Penemu Trigonometri Modern
Top of Form

Bottom of Form
Jum'at, 30 September 2011 
Oleh: Kholili Hasib

NAMA lengkap al-Biruni adalah Abu al-Raihan Muhammad bin  
Ahmad al-Khawarizmi al-Biruni. Saintis ensiklopedis abad ke-9 ini dilahirkan di kota Khawarizmi, salah satu kota di wilayah 
Uzbekistan pada tahun 362 H (973 M). Adapun nama Al-Biruni berasal dari kata Birun dalam bahasa Persia yang berarti kota pinggiran. Dinamakan demikian karena tanah kelahirannya terletak di pinggiran kota Kats yang merupakan pusat kota Khwarizm. Kota tersebut memang dahulu dikenal termasuk wilayah Persia. Sehingga, al-Biruni biasanya dikenal ilmuan dari Persia Timur.

Tradisi dan lingkungan di negeri al-Biruni mempengaruhi karakter dan keilmuannya. Pada waktu itu, merupakan masa-masa emas bidang sains Islam di wilayah Asia Tengah.
Ia hidup sezaman dengan Abu Nashr Manshur, astronom kenamaan asal Khurasan yang menguasai karya-karya klasik Yunani seperti Ptolomeus dan Menelaus. Al-Biruni bahkan pernah belajar langsung ilmu astronomi kepadanya. Gurunya Abu Nashr Manshur meskipun seorang pengkaji filsafat Yunani, akan tetapi framework pemikirannya tidak terpengaruh oleh filsafat paripatetik Yunani.

Frame ini diajarkannya kepada al-Biruni. Makanya al-Biruni dikenal cukup keras dan lugas menyikapi fenomena filsafat paripatetik Yunani. Dengan ajaran Gurunya itu, al-Biruni tampil sebagai kritikus yang keras terhadap filsafat Yunani. Ia pernah berkorespondensi dengan Ibn Sina, mendiskusikan tentang filsafat dan pengaruhnya terhadap cendekiawan muslim waktu itu (Sains dan Peradaban di Dalam Islam, halaman 115). Selain sezaman dengan dua ilmuan tersebut, al-Biruni juga semasa dengan al-Haitsam, seorang ilmuan muslim ahli fisika.

Ia termasuk ilmuan yang memiliki modal kecerdasan matematis. Al-Biruni senantiasa menolak segala asumsi yang lahir dari khayalan. Pemikirannya logis, tapi tidak pernah menafikan teologi. Al-Biruni adalah pelopor metode eksperimental ilmiah dalam bidang mekanika, astronomi, bahkan psikologi. Ia menghendaki agar setiap teori dilahirkan dari eksperimen dan bukan sebaliknya.

Al-Biruni termasuk saintis esiklopedis, karena pakar dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan. Memang tradisi para cendekiawan muslim dahulu adalah mereka tidak cukup puas menguasai dalam satu bidang ilmu saja. Al-Biruni selain dikenal sebagai seorang ahli matematika, juga menguasai bidang-bidang sains lainnya.

Sepanjang hidupnya, al-Biruni telah menghasilkan karya tidak kurang dari 146 buku (sebagian ahli bahkan mengatakan bahwa al-Biruni telah menulis 180 buku). Kebanyakan merupakan karya bidang astronomi yakni ada sekitar 35. Sisanya buku tentang astrologi, geografi, farmakologi, matematika, filsafat, agama, dan sejarah.

Bidang sains yang dikuasainya adalah astronomi, geodesi, fisika, kimia, biologi, dan farmakologi. Selain itu ia juga terkenal sebagai peneliti bidang filsafat, sejarah, sosiologi dan ilmu perbandingan agama. Tentang bidang sosial ini al-Biruni mendapat gelar seorang antropolog, karena penelitiannya yang serius tentang kehidupan keagamaan orang India.
Hasil risetnya dibukukan dengan judul Tahqiq maa lii al-Hindi min Maqulah Maqbulah fi Al-‘Aqli aw Mardzwilah dan Tarikh al-Hindi.

Di antara pencapaian intelektualnya tersebut, peletakan dasaar-dasar trigonometri merupakan prestasi besar al-Biruni di bidang matematika. Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang membahas tentang sudut segitiga.
 

Di dalamnya terdapat istilah-istilah trigonometrik, yaitu
 sinus, cosinus, dan tangen. Dasar-dasar dari teori trigonometrik ini ternyata telah lama dikenal oleh ilmuan muslim terdahulu abad kesembilan Masehi. Al-Biruni dikenal sebagai matematikawan pertama di dunia yang membangun dasar-dasar trigonometri.

Landasan-landasan trigonometrik tersebut kemudian dikembangkan ilmuan Barat. Dan diaplikasikan ke dalam beberapa cabang ilmu, seperti astronomi, arsitektur, dan fisika. Al-Biruni sendiri pernah mengaplikasikannya secara matematik untuk membolehkan arah kiblat ditentukan dari mana-mana tempat di dunia.

Meskipun ilmu trigonometri telah dikenal di Yunani, akan tetapi pematangannya ada di tangan al-Biruni. Ia mengembangkan teori trigonometri berdasarkan pada teori Ptolemeus. Hukum Sinus (
The Sine Law) adalah temuannya yang memperbaiki teori Ptolemeus.

Hukum ini merupakan teori yang melampaui zamannya. Seperti yang popular dalam trigonometri modern terdapat hukum sinus. Hukum sinus ialah pernyataan tentang sudut segitiga. Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga dari 2 sudut dan 1 sisinya diketahui.

Prestasi al-Biruni lebih diakui daripada Ptolemeus karena dua alasan:
Pertama, teorinya telah memakai sinus sedangkan Ptolemeus masih sederhana, yaitu menggunakan tali atau penghubung dua titik di lingkaran (chord).
Kedua, teori trigonometri al-Biruni dan para saintis muslim penerusnya itu menggunakan bentuk aljabar sebagai pengganti bentuk geometris.

Rumus sinus dinyatakan rumus praktis dan lebih cainggih. Menggunakan logika matematika modern dan sangat dibutuhkan dalam perhitungan-perhitungan rumit tentang sebuah bangunan. Dunia arsitektur sangat memanfaatkannya untuk mengukur sudut-sudut bangunan. Ilmu astronomi juga diuntungkan. Dalam tradisi Islam, dimanfaatkan dalam ilmu falak, penghitungan bulan dan hari.

Penggunaan aljabar dalam teori trigonometri al-Biruni sangat dimungkinkan menggunakan teori aljabar Al-Khawrizmi, seorang matematikawan muslim asal Khawarizm. Ia merupakan generasi matematikawan asal Khurasan sebelum al-Biruni.
Menurut Raghib al-Sirjani, ilmu aljabar Al-Khawarizmi tidak hanya menginspirasi matematikawan Khurasan dan sekitarnya, seperti Abu Kamil Syuja al-Mishri, al-Khurakhi dan Umar Khayyam saja, akan tetapi karya agungnya Al-Jabar wa Muqabalahmenjadi buku induk di universitas Eropa. Dan al-Biruni termasuk saintis pengkaji temuan Al-Khawarizmi tersebut.

Makanya, teori trigonometri modern al-Biruni sesungguhnya sangat berjasa terhadap ilmu aljabar Al-Khawarizmi. Sebab, berkat temuan al-Khawarizmi terutama temuannya tentang angka nol, al-Biruni mampu mengangkat ilmu trigonometri Ptolemeus menjadi teori yang berpengaruh hingga era matematika modern saat ini.

Al-Biruni juga menjelaskan sudut-sudut istimewa dalam segitiga, seperti 0, 30, 45, 60, 90. Penemuan ini tentu sangat memberi kontribusi terhadap ilmu-ilmu lainnya. Seperti ilmu fisika, astronomi dan geografi. Karena memang ilmu matematika merupakan dasar dari ilmu-ilmu astronomi dan fisika.

Oleh sebab itu, teori Ptolemeus sesunggunya masih sederhana dan belum bisa dikatakan sebagai trigonometri dalam ilmu matematika modern. Hukum sinus itulah merupakan hukum matematika penting dalam ilmu trigonometri.

Teori ini memberi kontribusi yang cukup besar terhadap pengembangan ilmu yang lain. Ia telah menggunakan kaedah penetapan longtitude untuk membolehkan arah kiblat ditentukan dari mana-mana tempat di dunia.

Di saat ia mencapai kematangan intelektual, al-Biruni banyak didukung oleh para sultan dan penguasa untuk mengembangkan keilmuannya untuk bidang astronomi dan fisika.
Ia pernah menulis al-Qanun al-Mas’udi, karya tentang planet-planet atas dukungan Sultan Mas ’ud dan dihadiahkan kepadanya. Buku ini merupakan ensiklopedi astronomi yang paling besar, tebalnya lebih dari 1.500 halaman. Di dalamnya ia menentukan puncak gerakan matahari, memperbaiki temuan Ptolemeus.

Al-Biruni juga pernah tinggal dan bekerja untuk sebagian besar hidupnya di istana Sultan Mahmud, dan putranya, Mas’ud. Selama bergaul itulah al-Biruni banyak menghasilkan karya-karya astronomi dan matematika.

Al-Biruni telah memberikan sumbangan multidimensi terhadap dunia sains. Karya-karya peninggalannya adalah bukti keluasan ilmunya terhadap berbagai disiplin sekaligus.
Selain mendapat pujian dari ummat Islam, al-Biruni juga mendapatkan penghargaan yang tinggi dari bangsa-bangsa Barat. Karya-karyanya melampaui Copernicus, Isaac Newton, dan para ahli Indologi yang berada ratusan tahun di depannya. Baik ulama maupun orientalis sama-sama memujinya.

Salah satu bentuk apresiasi ilmuan dunia hingga saat ini adalah pada tahun 1970, International Astronomical Union (IAU) menyematkan nama al-Biruni kepada salah satu kawah di bulan. Kawah yang memiliki diameter 77,05 km itu diberi nama Kawah Al-Biruni (
The Al-Biruni Crater).*

Jaga Lisan Dengan Hati-hati berbicara


Jaga Lisan, Dengan Hati-hati Berbicara!
Top of Form

Bottom of Form

SUATU hari seorang laki-laki datang kepada Rasulullah SAW seraya berkata, “Ya Rasulullah! Sungguh si fulanah itu terkenal banyak shalat, puasa, dan sedekahnya. Akan tetapi juga terkenal jahat lidahnya terhadap tetangga-tetangganya.” Maka berkatalah Rasulullah SAW kepadanya, “Sungguh ia termasuk ahli neraka.” 
Kemudian laki-laki itu berkata lagi, “Kalau si fulanah yang satu lagi terkenal sedikit shalat, puasa dan sedekahnya, akan tetapi ia tidak pernah menyakiti tetangganya.” Maka Rasulullah SAW berkata, “Sungguh ia termasuk ahli surga.” (HR.Muslim)
Sebagai makhluk sosial, tentu semua orang tidak bisa lepas dari interaksi dengan sesama. Siang dan malam kita pasti bertutur kata. Tak satu pun manusia yang bisa hidup tanpa berbicara.
Berbicara merupakan media utama dari seluruh proses interaksi sosial. Baik buruknya proses interaksi sosial salah satunya dipengaruh oleh bagaimana kita bertutur kata. Karenanya, agar apa yang kita ucapkan tidak menjadi bumerang bagi diri sendiri, lebih-lebih membahayakan orang lain baik di dunia maupun di akhirat, kita mesti cermat dalam berbicara.
Cermat dalam arti mengerti dengan baik bahwa kita hanya boleh berbicara yang memiliki kandungan manfaat, ilmu, atau nasehat, serta yang bisa menjernihkan sebuah permasalahan. Sekiranya kita tidak mengerti apa yang harus kita ucapkan sebaiknya berpikirlah lebih dulu, sebelum memutuskan untuk ikut berbicara.
Seringkali seseorang berbicara tanpa diawali proses berpikir dan tidak melalui pertimbangan sebelumnya. Tindakan seperti itu berpotensi mengundang masalah baru yang boleh jadi akan berlarut-larut, sehingga memperkeruh keadaan dan mengancam tali ukhuwah dengan sesama Muslim. Apabila hal ini terjadi maka tidak ada tempat bagi orang yang berbicara kecuali neraka.
Rasulullah saw bersabda, “Sesungguhnya seorang hamba benar-benar mengucapkan kata-kata tanpa dipikirkan yang menyebabkan dia tergelincir ke dalam neraka yang jaraknyaa lebih jauh antara timur dan barat.” (HR. Bukhari Muslim).
Pepatah mengatakan, “Mulutmu harimaumu.” Oleh karena itu, kecermatan dalam berbicara mutlak harus kita upayakan. Kita perlu tahu secara pasti, kapan kita bicara, apa yang harus kita bicarakan, dan paling penting adalah manfaat apa yang akan diperoleh diri sendiri, yang mendengar dan orang lain, tatkala kita berbicara.
Dalam situasi kita tidak mengerti apa yang harus kita ucapkan, tidak berbicara adalah langkah yang bijaksana. Maka pantas jika kemudian Lukman al-Hakim menasehati putranya dengan mengatakan bahwa, “Diam itu hikmat tapi sedikit sekali orang yang melakukannya.”
Akan tetapi, manakala kita mengerti secara mendalam dan komprehensif akan hakikat sesuatu dan penjelasan akan hakikat sesuatu itu sangat dibutuhkan, maka berbicara dalam konteks ini adalah wajib. Sebagaimana telah ditegaskan oleh rasulullah saw dalam sebuah hadisnya.
“Siapa yang beriman kepada Allah dan hari akhir, hendaklah dia berbicara yang baik atau diam” (HR. Bukhari).
Imam Nawawi menjabarkan bahwa hadis di atas adalah hadis shohih, yang menjelaskan bahwa kita tidak pantas berbicara kecuali berbicara yang baik dan jelas-jelas mengandung maslahat. Bila diragukan kemaslahatannya, maka diam adalah langkah yang utama untuk dilakukan.
Jadi berbicara menduduki posisi yang sangat strategis. Dengan iman dan ilmu, pembicaraan yang kita lakukan dapat mengundang berkah dan keridhaan Allah SWT. Sebaliknya, berbicara terus-menerus tanpa ilmu, tanpa berpikir panjang akan mengantarkan kita pada kemurkaan-Nya.
Termasuk tatkala kita ingin menghibur orang lain dengan perkataan lucu. Sekalipun dalam maksud bercanda, berbicara yang lucu tetap tidak boleh mengandung unsur dusta atau sia-sia belaka.
Rasulullah sangat melarang umatnya berbicara, berbohong meski dengan maksud agar orang lain tertawa karena mendengarkannya.
"Celaka bagi orang yang berkata kemudian berbohong supaya orang-orang tertawa, maka celaka baginya, maka celaka baginya." (HR. Abu Dawud)
Sepanjang hari, siang dan malam setiap orang pasti berbicara. Dan, esok hari pun kita akan berbicara dan terus berbicara. Oleh karena itu hemat dan cermatlah dalam berbicara. Jangan sekali-kali membuka celah untuk berkata bohong. Sebab pintu-pintu kebohongan lainnya akan terbuka demi untuk menutupi kebohongan pertama.
Maka dari itu tidaklah berlebihan jika perkataan yang baik itu memiliki derajat yang lebih utama daripada sedekah yang diungkit-ungkit hingga menyakiti perasaan yang menerimanya.
قَوْلٌ مَّعْرُوفٌ وَمَغْفِرَةٌ خَيْرٌ مِّن صَدَقَةٍ يَتْبَعُهَا أَذًى وَاللّهُ غَنِيٌّ حَلِيمٌ
“Perkataan yang baik dan pemberian maaf lebih baik dari sedekah yang diiringi dengan sesuatu yang menyakitkan (perasaan si penerima). Allah Maha Kaya lagi Maha Penyantun.” (QS. Al Baqarah: 263).
Kini, marilah kita jaga lisan kita dari kata-kata yang tak berguna.*/Imam Nawawi

Tugas Pertama Teori Bilangan


                                             INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
MAGISTER PENGAJARAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

 

NAMA
:
HARTADI GATOT
NIM
:
90110314
MATA KULIAH
:
TEORI BILANGAN

PENYELESAIAN:
6.    Apa yang dapat disimpulkan jika a, b bilangan bulat bukan nol sedemikian hingga a|b dan b|a ?
       Jawab :
                 a|b   artinya   b = ak   untuk suatu  k Î   dan   b|a  artinya  a = bl  untuk suatu  l Î  
                 Sehingga diperoleh  kl = 1  artinya  k,l Î {±1}.
        Dengan demikian diperoleh  a = ± b  dan  b = ± a  atau  |a|=|b|.
Jadi dapat disimpulkan :
                    jika a dan b bilangan bulat selain 0 sedemikian sehingga a|b dan b|a maka |a|=|b|.
8.    Adakah bilangan bulat  a, b  dan c  sedemikian sehingga  a|bc, tetapi  a  b dan  a  c  ?
       Jawab :
       Ada,
           Misalnya :  15 | 5.3; tetapi 15 tidak membagi 5 atau 3.
10. Tunjukkan bahwa jika  a  dan  b  adalah  bilangan bulat positif dan  a|b,  maka  a b.
       Bukti Kontradiksi :
         Misalkan  :
                 Ambil sembarang  a, b Î  + dan a|b. 
                 Andaikan a  >  b    maka    1  >    .  
                        Karena   a|b   maka  1  >     akan terpenuhi jika  b  bilangan bulat negatif.
                        Hal ini bertentangan dengan  b Î  +.  ( kontradiksi )
                        Jadi   : 
                                    jika  a  dan  b  adalah  bilangan bulat positif dan  a|b,  maka  a b.

12. Tunjukkan  bahwa jumlah dua bilangan bulat genap atau jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat genap, sedangkan jumlah dari sebuah bilangan bulat ganjil dan bilangan bulat genap adalah bilangan bulat ganjil.
       Dari pernyataan di atas , akan dibuktikan :
                         i.          Jumlah dua bilangan bulat genap adalah bilangan bulat genap
                        ii.         Jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat genap
                       iii.        Jumlah sebuah bilangan bulat genap dan sebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil .
Bukti :
                        i.          Jumlah dua bilangan bulat genap adalah bilangan bulat genap.
Ambil dua bilangan bulat genap sembarang a dan b ,
Misalkan :
          a  =  2k   dan   b  =  2l   untuk  suatu   k , l Î .
Maka  :
                     a  +  b              =          2k  +  2l
                     =   2 ( k + l ).
Karena   :
                     k , l  Î      maka   untuk suatu m = ( k + l ) Π   
Sehingga :
                      a  +  b             =          2m   untuk suatu  m Π   
Berarti :
                     a  +  b  bilangan bulat genap.

Jadi :
                     Jumlah dua bilangan bulat genap adalah bilangan bulat genap. ( terbukti )  

                       ii.         Jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat genap.
Ambil dua bilangan bulat ganjil  sembarang  a dan b ,
Misalkan :
       a  =  2k + 1   dan   b  =  2l + 1  untuk  suatu   k , l Î .
Maka  :
       a  +  b    =  ( 2k + 1 )  +  ( 2l + 1 )
                     =   2k  +  2l  + 2
                     =   2 ( k + l + 1 ).
Karena   :
       k , l  Π     maka  suatu  m = ( k + l + 1 ) Π   
Sehingga :
       a  +  b    =   2m   untuk suatu  m Π   
Berarti :
       a  +  b  bilangan bulat genap.

Jadi :
       Jumlah dua bilangan bulat ganjil  adalah bilangan bulat genap. ( terbukti )  
                      iii.        Jumlah sebuah bilangan bulat genap dan sebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil .
Ambil dua bilangan bulat ganjil  sembarang  a dan b ,
Misalkan :
       a  =  2k + 1   dan   b  =  2l   untuk  suatu   k , l Î .
Maka  :
       a  +  b    =  ( 2k + 1 )  +  2l
                     =   2k  +  2l  + 1
                     =   2 ( k + l ) + 1.
Karena   :
       k , l  Π     maka   m = ( k + l ) Π   
Sehingga :
       a  +  b    =   2m + 1  untuk suatu  m Π   
Berarti :
       a  +  b  bilangan bulat ganjil.
Jadi :
Jumlah sebuah bilangan bulat genap dan sebuah bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil. ( terbukti )

14. Tunjukkan bahwa jika a dan b adalah bilangan bulat ganjil positif dan b  a, maka terdapat suatu bilangan bulat s dan t sedemikian sehingga a = bs + t, dimana  t adalah ganjil dan   | t | < b.
Bukti :
Karena b  a, maka terdapat bilangan bulat q dan r dengan 0 < r < b . (algoritma pembagian)
Sehingga :
a     =     bq + r                                                  ………………         (i)
       =     b(q + 1) + (rb).                               ………………         (ii)             
Jika q adalah genap, maka bq juga genap,
akibatnya r = ab.q  ganjil.
Karena 0 < r < b   maka | r | < b.

Dengan identifikasi pada (i) maka (ii) :
Misalkan  q + 1 adalah genap, maka b.(q + 1) juga genap.
Akibatnya rb  = ab.(q + 1)  juga ganjil.
Karena 0 < r < b, kita peroleh  b < rb < 0, sehingga | rb | < b.
Jika ( q + 1 ) = s dan  ( r – b ) = t , kita dapat menuliskan  a = b.s + t,  dimana  t  adalah ganjil dan  | t | < b,  untuk suatu bilangan bulat  s  dan  t.
Jadi dapat disimpulkan :
Jika a dan b adalah bilangan bulat ganjil positif  dan  b  a,  maka terdapat suatu bilangan bulat  s  dan  t  sedemikian sehingga  a =  b.s  +  t ,  dengan  t  adalah ganjil  dan   | t | < b.